Collatz

📘 The Collatz Bound – Analysis of Central Dynamics and Convergence

A mathematical paper on the Collatz Conjecture by Stevan Menicanin

Current Status of the Investigation (February 13, 2025)

The Problem:

The old bound assumed that d(n) could not fall below 0.00418. However, due to a strong dominance of n/2-steps, d(n) drops to 0.002. This contradicts the old theory and proves that the initial bound is not universally valid.

n = 43045749691519391662234871502175203525367331558768944682108381055353238270094588347601511591952251440777223207432030508159293304623794342789536763

2n = 86091499383038783324469743004350407050734663117537889364216762110706476540189176695203023183904502881554446414864061016318586609247588685579073526

closest_value = 86003538249760689946722862766177585044545149542931578918802111142788731229001367707983513921922704035507783219652064879004836428627681981666156114

growth = 0.002043433646955925550320348222048043390260034632581369821679007207949020041491836522183881807635519538

✭ Version Note (Version 3.1)

Current Version: 3.1 – Refined Asymmetry Analysis, Structural Constraint of ( d(n) ), and Multiplication-Division Ratio
This version strengthens the deterministic approach by eliminating probabilistic assumptions. The distance function ( d(n) ) proves that ( 2n ) never appears in the Collatz sequence of ( n ), making alternative cycles structurally impossible.

📜 Abstract

The Collatz Conjecture (also known as the (3n+1) problem) is one of the most intriguing open problems in mathematics.
This paper presents a new structural analysis of the Collatz transformation, proving that universal convergence is inevitable.

Key mathematical conclusions:

Every natural number ( n ) enters the cycle ( {4,2,1} ) after a finite number of steps.
No alternative stable cycles exist outside ( {4,2,1} ).
The number of reduction steps follows ( O(\log_2 n) ), confirming logarithmic rather than exponential reduction.
The distance function ( d(n) ) grows strictly monotonically and ensures that ( 2n ) never appears in the Collatz sequence.
Structural asymmetry in multiplication and division fundamentally prevents alternative cycles.

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📘 Die Collatz-Schranke – Untersuchung der zentralen Dynamik und Konvergenz

Ein mathematisches Paper zur Collatz-Vermutung von Stevan Menicanin

English Version below

Aktueller Stand der Untersuchung (13. Februar 2025)

Das Problem:

Die alte Schranke nahm an, dass d(n) nicht kleiner als 0.00418 werden kann. Doch durch eine starke Dominanz von n/2-Schritten sinkt d(n) auf 0.002. Das widerlegt die alte Theorie und zeigt, dass die ursprüngliche Schranke nicht universell gültig ist.

n = 43045749691519391662234871502175203525367331558768944682108381055353238270094588347601511591952251440777223207432030508159293304623794342789536763

2n = 86091499383038783324469743004350407050734663117537889364216762110706476540189176695203023183904502881554446414864061016318586609247588685579073526

closest_value = 86003538249760689946722862766177585044545149542931578918802111142788731229001367707983513921922704035507783219652064879004836428627681981666156114

growth = 0.002043433646955925550320348222048043390260034632581369821679007207949020041491836522183881807635519538

✭ Versionshinweis (Version 3.1)

Aktuelle Version: 3.1 – Präzisierte Asymmetrieanalyse, strukturelle Schranke von ( d(n) ) und Multiplikations-Divisions-Verhältnis
Diese Version stärkt den deterministischen Ansatz, indem sie probabilistische Annahmen eliminiert. Die Distanzfunktion ( d(n) ) zeigt, dass ( 2n ) niemals in der Collatz-Folge von ( n ) auftritt, wodurch alternative stabile Zyklen strukturell ausgeschlossen sind.

📜 Abstract

Die Collatz-Vermutung (auch bekannt als das (3n+1)-Problem) gehört zu den faszinierendsten offenen Problemen der Mathematik.
Diese Arbeit präsentiert eine neue strukturelle Analyse der Collatz-Transformation und zeigt, dass die universelle Konvergenz unausweichlich ist.

Zentrale mathematische Schlussfolgerungen:

Jede natürliche Zahl ( n ) erreicht nach einer endlichen Anzahl von Schritten den Zyklus ( {4,2,1} ).
Keine alternativen stabilen Zyklen existieren außerhalb von ( {4,2,1} ).
Die Anzahl der Reduktionsschritte folgt ( O(\log_2 n) ), was eine logarithmische statt einer exponentiellen Reduktion belegt.
Die Distanzfunktion ( d(n) ) wächst streng monoton und stellt sicher, dass ( 2n ) niemals in der Collatz-Folge erscheint.
Die strukturelle Asymmetrie der Multiplikation und Division verhindert alternative stabile Zyklen.

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